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Actualizado: July 19, 2026 10:22 PM GMTCEST

Tema 1: Lógica Matemática

Lógica Matemática

Lógica y Lenguaje Simbólico

El razonamiento lógico es la base del proceso de deducción del método científico. Los razonamientos lógicos se pueden codificar en símbolos. El lenguaje simbólico se puede tratar con operaciones algebráicas. Formalmente, se trata de evaluar la corección de un argumento. Al formularse conforme a ciertos elementos computables, una máquina también puede evaluar, reproducir, o imitar nuestros razonamientos.

Proposiciones

Definición: Una proposición es una afirmación de la cual se puede decir sin ambigüedad (y de forma excluyente) que es verdadera V o falsa F. Las proposiciones se suelen representar mediante letras minúsculas o mayúsculas: p, q, r.

Ejemplos de Proposición

• P: La nieve es roja.
• Q: Madrid es la capital de Francia.
• R: 1 + 1 = 7

No son proposiciones:

• T: Dame un segundo.
• S: ¿Qué tal?
• U: x^2 + x = 1 = 0
  • A diferencia de R, U no es una proposición porque x puede tener varios valores.
  • Depende de un parámetro (predicado).

Conectores

Los conectores son operadores que actúan sobre las proposiciones. Se pueden utilizar para combinar proposiciones entre ellas o modificarlas para construir nuevas.

Tipos de Conectores

• Negación ¬: La proposición ¬ P es cierta, únicamente cuando la proposición P es falsa.
  • ¬ P: La nieve no es roja.
• Conjugación ∧: La proposición P ∧ Q es cierta, solamente cuando las proposiciones P y Q son ciertas.
  • P ∧ Q: La nieve es roja y Madrid es la capital de Francia.
• Disyunción ∨: P ∨ Q es cierta, siempre que P o Q sean ciertas.
  • P ∨ Q: La nieve es roja o Madrid es la capital de Francia.
• Condicional →: Si sucede P, entonces sucede Q.
• Bicondicional ↔: P ↔ Q, P y Q son ciertas o falsas al mismo tiempo.

Composición de Proposiciones

Definición: Las proposiciones que no incluyen conectores se llaman atómicas. Las proposiciones compuestas por proposiciones y conectores se llaman moleculares.

Tenemos tres proposiciones atómicas:

• P: Hace calor.

• Q: Tengo sueño.

• R: La clase es muy aburrida.

• P ∧ Q ∨ R: Hace calor y tengo sueño o la clase es muy aburrida.

• P ∧ (Q ∨ R): Hace calor, y tengo sueño o la clase es muy aburrida.

• (P ∧ Q ∨ R): Hace calor y tengo sueño o la clase es muy aburrida.

Los paréntesis pueden cambiar el significado de una operación lógica y ayudan a decidir un orden.

Jerarquía de Conectores

1. ↔
2. →
3. ∧, ∨
4. ¬

En asuencia de paréntesis se ejecuta primero el conector de mayor jerarquía:

P ↔ Q ∧ R = P ↔ (Q ∧ R) ≠ (P ↔ Q) ∧ R

La jerarquía permite eliminar paréntesis de proposiciones moleculares:

P → ((¬ Q) ∨ R) = P → ¬ Q ∨ R

Ejemplos de Formalización

1. Si no llueve, te llevaré al cine
   1. P: Llueve
   2. Q: Te llevaré al cine
   3. ¬ P → Q
2. El número 4 es par, si y solo si es divisible por 2
   1. P: El 4 es par.
   2. Q: El 4 es divisible por dos.
   3. P ↔ Q

Tablas de Verdad

Definición: Una tabla de verdad es una matriz que contiene los valores de verdad de una proposición en función de los valores de verdad de las funciones atómicas.

Negación

P	¬ P
F	V
V	F

Conjunción

P	Q	P ∧ Q
F	F	F
F	V	F
V	F	F
V	V	V

Disyunción

P	Q	P ∨ Q
F	F	F
F	V	V
V	F	V
V	V	V

Condicional

P	Q	P → Q
F	F	V
F	V	V
V	F	F
V	V	V

Bicondicional

P	Q	P ↔ Q
F	F	V
F	V	F
V	F	F
V	V	V

Tautologías y Contradicciones

Definición: Una proposición compuesta que siempre es cierta para cualquiera de los dos valores de sus proposiciones atómicas recibe el nombre de Tautología. La negación de una tautología, es decir, una proposición compuesta que siempre es falsa, recibe el nombre de Contradicción. Si unas veces es cierto, y otras veces es falso se llama Contingencia.

Ejemplo:

P	¬ P	P ∨ ¬ P	P ∧ ¬ P
F	V	V	F
V	F	V	F

P ∨ ¬ P es una Tautología. Mientras que P ∧ ¬ P es una Contradicción.

Se dice que dos proposiciones (atómicas o compuestas) P y Q constituyen una relación de implicación (P → Q, P implica Q) sí y solo si la implicación P → Q es una tautología.

Se dice que dos proposiciones P y Q son lógicamente equivalentes (P ↔ Q) sí y solo si la bicondicional P ↔ Q es una tautología.

(P ∨ Q) ↔ (Q ∨ P) = Tautología

P	Q	P ∨ Q	Q ∨ P
F	F	F	F
F	V	V	V
V	F	V	V
V	V	V	V

Inferencias

Definición: La inferencia es el proceso que permite llegar a una conclusión partiendo de unas premisas y consiste en una sucesión finita de pasos en los que se usan relaciones de implicación y equivalencias.

Reglas

• Doble negación: P ↔ ¬ ¬ P
• Simplificación:
  • P ∧ Q → P
  • P ∧ Q → Q
  • Dependiendo de cual sea cierta
• Adición: P → P ∨ Q
• Transitividad: ((P → Q) ∧ (Q → R)) ↔ (P → R)
• Transposición: (P → Q) ↔ (¬ Q → ¬ P)
• Leyes de Morgan:
  • ¬(P ∨ Q) ↔ ¬ P ∧ ¬ Q
  • ¬(P ∧ Q) ↔ ¬ P ∨ ¬ Q
• Modus Ponens: ((P → Q) ∧ P) → P
• Modus Tollens: ((P → Q) ∧ ¬ P) → ¬ P
• Modus Tollendo Ponens: ((P ∨ Q) ∧ ¬ P) → Q