Tema 3: Teoría de Conjuntos
Teoría de Conjuntos
Según Georg Cantor es posible distinguir entre distintos tipos de infinitos.
Conjunto
Definición: Colección de elementos. Para definirlo, hay que definir de manera unívoca los elementos que le pertenecen.
- Explicitando sus elementos:
- \(A = \{2, 5, 7, 8, 9, 10\}\)
- \(B = \{a, b, f, d\}\)
- Mediante una regla:
- \(C = \{x \in \mathbb{R}: 1 \leq x \leq 2\} = \[1, 2\]\)
- \(D = \{f(x) \gt 0 \forall x \in \[0, 1\]\}\)
Si dos conjuntos tienen los mismos elementos, entonces son el mismo elemento. \(A = B\).
Se define el conjunto vacío \(\emptyset\) al conjunto sin elementos.
Dados dos conjuntos A y B. Existe un conjunto \(\{A, B\}\) que contiene A y B como únicos elementos, y existe el onjunto de un único elemento \(\{\emptyset\}\).
Subconjunto
\(A\) es subconjunto de \(B\), si todo elemento de \(A\) es subconjunto de \(B\). Si \(A \ne B\) entonces \(A\) es un subconjunto propio.
- Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.
- \(\emptyset\) es subconjunto de todo conjunto.
- Podemos representar relaciones entre conjuntos de manera gráfica con Diagramas de Venn
El subconjunto potencia o conjunto partes es un conjunto tal que \(P(A) = \{B: B \subset A\}\):
- \(A = \{1, 2, 3\}\)
- \(P(A) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{2, 3\}, \{1, 3\}, A\}\)
Conjunto Complementario
Dado \(E\) y \(A \subset E\), definimos:
\(\overline{A} = A^C = \{x \in E: x \notin A\}\)
Se cumple:
- \(\emptyset^C = E\)
- \(E^C = \emptyset\)
- \(\(A^C\)^C = A\)
- \(A = B \leftrightarrow A^C = B^C\)
- \(B \subset A \leftrightarrow A^C \subset B^C\)
Unión
Dados \(A, B \subset E\) se define la unión:
\(A \cup B = \{x \in E: x \in A \vee x \in B\}\)
Intersección
\(A \cap B = \{c \in E: x \in A \wedge x \in B\}\)
Diferencia
\(A \setminus B = \{x \in A: (x \in A) \wedge (x \notin B)\}\)
Producto Cartesiano
\(A \times B\) es el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) tales que \(a \in A\) y \(b \in B\):
- \(A \times B = \{\(a, b\): a \in A \wedge b \in B\}\)
- \(\(a, b\) \neq \(b, a\)\) y \(a \neq b\)
- \(A = \mathbb{R}, B = \mathbb{R}, \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2\)
Función
Relación entre dos conjuntos:
- \(f: A \mapsto B\)
- Asigna exactamente un elemento \(b \in B\) a cada elemento \(a \in A\). Se denota
como:
- \(f(a) = b\)
Dada una función \(f: A \mapsto B\). Llamamos:
- Dominio: Dom(f) valores de \(a \in A\) para los que la función está definida:
- \(f(x) = \sqrt{x}. \text{ Dom } f(x) = \mathbb{R}^+\)
- Codominio: Conjunto de valores \(b \in B\) potencialmente alcanzables (no
necesariamente) para algún \(a \in A\).
- El codominio de la función \(f(x) = x^2\) es \(\mathbb{R}\)
- Imagen o Rango: Im(f) conjunto de valores de \(b\) que son alcanzados por uno o
más valores \(a \in A\):
- Imagen de la función \(f(x) = x^2\) es \(\mathbb{R}^2\)
Propiedades de una Función
- Inyectivas: Cada elemento de la imágen no es alcanzado por más de un elemento del dominio.
- Suprayectivas o Exhaustivas: Cada elemento del codominio es alcanzado por al menos un elemento del dominio.
- Biyectivas: Funciones inyectivas y Suprayectivas.
Composición de Funciones
Sean \(A, B, C\) conjuntos \(f: A \mapsto B, g: B \mapsto C\) podemos definir la función \(g \circ f: A \mapsto C\). Para que tenga sentido \(\text{Im}(f) \subset \text{Dom}(g)\)
Función Identidad
id(x) = x
Cardinal
Dado un conjunto finito A, denominamos cardinal de A al número de elementos que pertenecen a A.
