Tema 4: El Conjunto de los Números Enteros
El Conjunto de los Números Enteros
Divisibilidad
Sean \(a, d \in \mathbb{Z}\) número enteros. Decimos que d divide a a (d / a) si existe otro número entero q tal que:
\(a = dq\)
Decimos también que \(a\) es múltiplo de \(d\).
Los factores de \(a\) es el conjunto de números enteros que dividen a \(a\).
Los números \(\pm1\) son divisores de todos los números enteros.
Un número primo P es un número cuyos factores son únicamente \(\{\pm 1, \pm p\}\)
Por convenio \(0\) y \(\pm1\) no son números primos.
Un número compuesto es aquel que no es primo.
Para saber si un número es primo, hay varios algoritmos:
Criba de Eratíostenes
- Se forma una tabla con todos los enteros de \(2\) a \(n\).
- Se tachan los múltiplos de \(2\).
- Cuando se encuentra el primer número no tachado, se declara primo y se tachan sus múltiplos.
+---+----+----/----+---/---+---/---/-----+/
| 2 | 3 | 4 /| 5 | 6/| 7 | 8/| 9/| 10 /
+---+----+--/-+----+-/-+---+-/-+-/-+----/+
División por Tentativas
Para saber si un número es primo, podemos comprobar todos los divisores menores que el. De hecho, si no tiene factores que \(\sqrt{n}\), tampoco los tendrá mayores que \(\sqrt{n} \cdot q > n\) si \(q \gt \sqrt{n}\).
Por ejemplo, para ver si \(101\) es primo, hacemos \(\sqrt{101} \approx 10\) y hacemos \(2 \leq x \leq 10 / \frac{101}{x}\).
Descomposición en Factores Primos
Dado un número entero \(a\), existen \(P_1, P_2, \dots, P_k\) y \(r_1, \dots, r_k\) números naturales, tal que:
\(a = \pm P^{r_1}_1 \cdot \dots \cdot P^{r_k}_k\)
Por ejemplo: \(24 = 2^3 \cdot 3\)
Máximo Común Divisor
Dados 2 enteros positivos \(a\) y \(b\) llamamos Máximo Común Divisor al mayor entero positivo \(d\) tal que \(\frac{d}{a}\) y \(\frac{d}{b}\). Por convenio, mcd(0, n) = no definido, y mcd (0, 0) = 0.
Por ejemplo, 18 y 8:
- \(18 = 2 \cdot 3^2\)
- \(8 = 2^3\)
- mcd = 2
Mínimo Común Múltiplo
Dados dos enteros positivos \(a\) y \(b\) llamamos al mínimo común múltiplo (mcm (a, b)) al menor múltiplo de a y b. Por ejemplo:
- mcm(2, 5) = 10
- mcm(3, 6) = 6
- mcm (20, 15) = 60
Lema de Bézout
Dados \(a, b\) números enteros positivos, tales que:
- \(a = bq + r\)
- con \(r < b\)
Si \(a, b\) son enteros tales que \(|a| + |b| \ne 0\) existen otro par \(s, t\) de enteros tales que:
- \(s \cdot a + t \cdot b = \text{mcd}(a, b)\)
Esta ecuación se conoce como Identidad de Bézout.
