Tema 7: Matrices
Matrices
Una matriz es una caja de numeros. Tremendamente importante en algebra lineal.
El algebra lineal es importante, porque no sabemos resolver ecuaciones que no sean lineales.
Las matrices se utilizan en campos como:
- Inteligencia Artificial
- Robotica
- Mecanica Cuantica
Que es una matriz?
Llamaremos matrix de orden \(m \times n\) a una tabla de \(m\) filas, y \(n\) columnas.
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}
Por ejemplo:
\(A = (1, 2, 3)\) es una matriz \(1 \times 3\) (una fila y tres columnas).
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}\), es una matriz \(2 \times 3\).
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\) es una matrix \(2 \times 2\).
Teniendo la matriz \(A\):
\(A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}\)
Las entradas o coeficientes de la matriz \(A\) son los numeros \(a_{ij}\). Se determinan univocamente fijando la \(i\) y la columna \(j\).
Denotaremos por \(M_{m \times n} (K)\) al conjunto de matrices con coeficientes en el conjunto \(K\). Generalmente \(K = \mathbb{R}\).
Dos matrices \(A = B\), si \(a_{i,j}_{} = b_{i,j}\), para todo par \(i\), \(j\).
Por ejemplo: \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}\)
\(A \in M_{2\times3} (\mathbb{R}). a_{11} = 1, a_{22} = 5\)
Dada una matriz \(A\), una submatriz de \(A\) es una matriz obtenida a partir de \(A\), eliminando una fila o una columna.
\(A = \begin{pmatrix} \textbf{1} & 2 & 3 \\ \textbf{4} & 5 & 6 \end{pmatrix}\)
La matriz:
\(A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}\)
es una submatriz de \(A\).
Una matriz fila es aquella que solo tiene una fila, y una matriz columna es aquella que solamente tiene una columna. Se llaman vectores:
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & 8 \end{pmatrix}\)
Es una matriz fila.
\(A = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\)
Es una matriz columna.
Una matriz cuadrada es una matriz \(A \in M_{n \times n}\), que tiene el mismo numero de filas que de columnas. Denotamos el conjunto por \(M_n\).
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)
Es una matriz cuadrada de orden 2.
Una matriz diagonal es una matriz cuadrada que unicamente tiene coeficientes no nulos en la diagonal. Esto es \(a_{ij} = 0\) si \(i \ne j\).
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}\)
Una matriz triangular superior es una matriz tal que todos los coeficientes por debajo de la diagonal son cero (\(a_{ij} = 0\), si \(i > j\)).
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}\)
Una triangular inferior si \(a_{ij} = 0\), para \(i < j\):
\(B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 0 \\ 6 & 7 & 4 \end{pmatrix}\)
Una matriz identidad \(I_n\) es la matriz cuadrada de orden \(n\) que tiene todos los elementos nulos, salvo los de la diagonal, que son todos 1.
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
Una matriz simetrica es aquella que \(a_{ij} = a_{ji}\), para todo par \(i\), \(j\). Los coeficientes son simetricos respecto a la diagonal.
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 5 & 1 \\ 5 & 1 & 4 \end{pmatrix}\)
Sea \(A \in M_{m \times n}\). Llamamos pivote de una fila al primer elemento no nulo de esa fila.
\(A = \begin{pmatrix} \textbf{1} & 2 & 5 \\ 0 & 0 & \textbf{6} \\ 0 & \textbf{9} & 4 \end{pmatrix}\)
Diremos que una matriz esta escalonada por filas si:
- Las filas de \(A\) compuestas enteramente por ceros (filas nulas) estan situadas en la parte inferior de \(A\).
- El pivote de cada fila no nula es igual a \(1\).
- Los elementos en la misma columna que un pivote y que estan situados por debajo de el, son iguales a cero.
- Si, ademas de ser escalonada, se cumple que todos los elementos que aparecen en una columna son cero (salvo que sean un pivote), entonces \(A\) es una matriz escalonada reducida por filas.
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 6 \end{pmatrix}\)
La matriz A es escalonada por filas.
\(B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 6 \end{pmatrix}\)
La matriz B es reducida por filas.
De forma similar, definimos una matriz escalonada por columnas y decudia por columnas.
Operaciones Entre Matrices
Suma de Matrices
Podemos sumar dos matrices si estas son del mismo orden.
La sumadse deifne componente a componente. Esto es, si \(A, B \in M_{m \times m}\), entonces:
\(A + B = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{pmatrix}\)
La suma de matrices, cumple las siguientes operaciones:
- Asociativa: \(A + (B + C) = (A + B) + C\), para \(A, B, C \in M_{m \times n}\).
- Conmutativa: \(A+B = B+A\), para \(A, B \in M_{m \times n}\).
- Elemento neutro: Existe la matriz \(0 \in M_{m \times n}\) tal que \(A + 0 = A\), para \(A \in M_{m \times n}\).
- Elemento opuesto: Existe la matriz \(-A\), tal que \(A + (-A) = 0\), para \(A \in M_{m \times n}\)
Por ejemplo:
\(\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 9 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 8 \\ 13 & 6 \end{pmatrix}\)
Producto de una matriz por un escalar
Dada una matriz \(A \in M{m \times n}\) y un escalar \(k \in \mathbb{R}\). Definimos el producto de \(k\) por \(A\) como:
\(kA = \begin{pmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & \cdots & ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots & ka_{mn} \end{pmatrix}\)
Producto de Matrices
Si el numero de columnas de una matriz \(A\) coincide con el numero de filas de una matriz \(B\), podemos definir su producto.
Si \(A \in M_{m \times p}\) y \(B \in M_{p \times n}\), entonces \(AB\) se define el producto usual de la matriz \(AB = c_{i,j}\).
\(c_{i,j} = \sum\limits_{k = 1}^p a_{ik} b_{kj}\)
Se multiplican filas por columnas:
\(\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1p} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ip} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mp} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11}& \cdots & b_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ b_{p1} & \cdots & b_{pj} & \cdots & a_{pn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_{11} & \cdots & c_{ij} & \cdots & c_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ c_{i1} & \cdots & c_{ij} & \cdots & c_{in} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ c_{m1} & \cdots & c_{mi} & \cdots & c_{mn} \end{pmatrix}\)
La matriz resultante es \(m \times n\).
-
Propiedades
El producto de matrices tiene las siguientes propiedades:
- \(A(BC) = (AB)C\) (asociativa).
- Si \(A \in M_{m\times n}, I_m A = A\) y \(AI_n = A\).
- \((A + B) C = AC + BC\) (distributiva)
- Para \(k\) escalar, \(k(AB) = (kA)B\)
- Notamos que, en general, \(AB \ne BA\)
La potencia \(k\) -essima de \(A^k\) la multiplicacion por si misma \(k\) veces.
Por decision \(A^0 = I_n\).
La inversa de una matriz: \(AB = BA = I_n\). La denotaremos utilizando lo siguente: \(B = A^{-1}\).
Propiedades de la inversa de una matriz:
- La inversa es unica.
- \((AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}\)
- Si \(A^T\) es la matriz transpuesta de A, entonces \((A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\).
