Tema 8: Matrices II
Matrices
Matriz Transpuesta
Dada \(A \in M_{m \times n}\), se define la matriz transpuesta \(A^T\) como la matriz con coeficientes: \(A^T_{ij} = a_{ji}\).
Por ejemplo:
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}\)
Propiedades:
- \((A + B)^T = A^T + B^T\)
- \((A^T)^T = A\)
- \((kA)^T = kA^T\), para \(k \in \mathbb{R}\)
- \((AB)^T = B^T A^T\)
Operaciones Elementales
Las matrices se pueden transformar mediante operaciones elementales.
Existen tres tipos de operaciones elementales (filas):
- Tipo I: Intercambiar la posicion de dos filas.
- Tipo II: Multiplicar todos los elementos de una fila por un escalar \(k \in \mathbb{R}\) no nulo.
- Tipo III: Sumar dos filas.
Decimos que dos matrices \(A, B \in M_{m \times n}\) son matrices equivalentes \((A \sim B)\), si \(B\) se puede obtener a partir de \(A\) por medio de operaciones elementales (filas, columnas).
Ejemplo
Vamos a arreglar la primera columna de la matriz:
Primero, buscamos un 1 en alguna de las filas:
\(A = \begin{pmatrix} 3 & 6 & -5 & 0 \\ \textbf{1} & 1 & 2 & 9 \\ 2 & 4 & -3 & 1 \end{pmatrix}\)
Vamos a poner la fila con el \(1\) para ser la primera, por lo que intercambiaremos las filas: \(F_1 \leftrightarrow F_2\).
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 9 \\ 3 & 6 & -5 & 0 \\ 2 & 4 & -3 & 1 \end{pmatrix}\)
Ahora queremos un cero debajo del pivote, por lo que en la segunda file haremos la operacion: \(F_2 \rightarrow 3F_1 - F_2\).
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 9 \\ 0 & -3 & 11 & 27 \\ 2 & 4 & -3 & 1 \end{pmatrix}\)
Y ahora buscamos el segundo cero en la tercer fila: \(F_3 \rightarrow 2F_1 - F_3\):
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 9 \\ 0 & -3 & 11 & 27 \\ 0 & -2 & 7 & 17 \end{pmatrix}\)
Y se siguen buscando unos en la segunda y tercer fila como pivotes:
\(F_2 \rightarrow -\frac{1}{3} - F_2\)
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 9 \\ 0 & 1 & -\frac{11}{3} & -9 \\ 0 & -2 & 7 & 17 \end{pmatrix}\)
\(F_3 \rightarrow 2F_2 + F_3\) para obtener el 0 debajo del segundo pivote:
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 9 \\ 0 & 1 & -\frac{11}{3} & -9 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{3} & -1 \end{pmatrix}\)
Para que el pivote de \(F_3\) sea \(1\), hacemos \(F_3 \rightarrow -3 F_3\):
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 9 \\ 0 & 1 & -\frac{11}{3} & -9 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}\)
Y resultamos con \(A\) como una matriz escalonada por filas. A la matriz resultante le llamaremos \(B\), por lo tanto \(A \sim B\).
Y para obtener una matriz tanto escalonada por filas (ceros debajo de los pivotes), y ademas reducida por filas (ceros arriba de los pivotes) podemos hacer las operaciones:
\(F_2: F_2 \rightarrow F_2 + \frac{11}{3}F_3\)
\(F_1: F_1 \rightarrow F_1 - 2F_3\)
Resultando con:
\(B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}\)
\(F_1 \rightarrow F_1 - F_2\)
\(B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}\)
Traza de una Matriz
Dada una matriz cuadrada \(A \in M_n\), llamaremos la traza de \(A(\text{tr}(A))\) a la suma de los elementos de la matriz. Si, por ejemplo:
\(A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a{nn} \end{pmatrix}\)
Entonces
\(\text{tr}(A) = \sum\limits_{i = 1}^n a_{ii}\)
Propiedades:
- \(\text{tr}(A + B) = \text{tr}(A)+ \text{tr}(B)\)
- \(tr(kA) = k\text{tr}(A), k \in \mathbb{R}\)
- \(\text{tr}(AB) = \text{tr}(A) \text{tr}(B)\)
Rango de una Matriz
Dada una matriz \(A \in M_{m \times n}\), definimos el rango de \(A\) (y lo denotamos por rg(A)) como el numero de filas no nulas de su forma normal.
Las operaciones elementales no cambian el rango de la matriz. Para calcular el rango de una matriz, podemos escalar por filas la columna (no hace falta reducirla).
En el ejemplo anterior. El rango de la matriz:
\(A = \begin{pmatrix} 3 & 6 & -5 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 9 \\ 2 & 4 & -3 & 1 \end{pmatrix}\)
Es el mismo que el de la matriz:
\(B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}\)
El rango es 3.
Propiedades:
- \(|\text{rg}(A) - \text{rg}(B)| \le \text{rg}(A + B) \le \text{rg}(A) + \text{rg}(B)\)
- \(\text{rg}(kA) = \text{rg}(A)\), para \(k \ne 0\)
Determinante de una Matriz
El determinante de una matriz \(2 \times 2\) puede definirse como el area generada por los vectores columna.
A partir del determinante \(2 \times 2\), se pueden definir los determinantes de matrices de orden superior.
Para el caso de una matriz \(2 \times 2\):
\(A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\)
Definimos el determinante:
\(\det(A) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}_{}a_{22} - a_{12}a_{21}\)
Por ejemplo, el determinante de la siguiente matriz:
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}\)
es \(51 - 34 = -7\).
La Regla de Sarrus ATTACH
El determinante de una matriz \(3 \times 3\) es un poco mas complicado. Supongamos que tenemos una matriz \(3 \times 3\):
\(A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\)
Denotaremos su determinante por:
\(\det(A) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\)
El resultado es:
\(\det(A) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{13}a_{21}a_{32} + a_{12}a_{23}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31}\)
Primero multiplico los elementos de la diagonal:
Y asi con las dos diagonales inversas:
Y eso le resto la operacion al reves. Primero, la diagonal inversa:
Y las diagonales inversas:
Tambien hay otra forma, que consiste escribir las primeras dos filas despues de la tercera, y encontrar las 3 diagonales y 3 diagonales inversas:
Menor Adjunto ATTACH
El menor adjunto es la submatriz \(A_{ij}\) que resulta de eliminar la fila \(i\) y la columna \(j\).
Por ejemplo, en la matriz:
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}\)
\(A_{11} = 5\)
De la matriz:
\(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\)
\(A_{12} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)
Determinante de una matriz
Para obtener el determinante de una matriz de orden 4 o mayor:
\(A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a{nn} \end{pmatrix}\)
Obtenemos el ij-esimo menor adjunto de A, como:
\(\alpha_{ij} = (-1)^{i + j} \times \det(A{ij})\)
Por ejemplo:
\(\alpha_{21} = (-1)^{2 + 1} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2\\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix} = - \[ 2 + 1 - (-1) \] = -2\)
\(\det(A) = a_{11} \times \alpha_{11} + a_{12} \times \alpha_{12}+ \cdots + a_{1n} \times \alpha_{1n}\)
Propiedades Determinante
-
Si tres matrices cuadradas \(A\), \(A’\), y \(A’’\) son identicas, salvo que la i-essima fila (o columna) de \(A\) es la suma de las filas (o columnas) correspondientes de \(A’\) y \(A’’\), entonces:
\(\det(A) = \det(A’) + det(A’’)\)
-
Si una matriz \(A\) tiene dos filas o columnas iguales, entonces \(\det(A) = 0\).
-
Si se intercambian dos filas o columnas de una matriz \(A\), entonces su determinante cambia de signo.
-
Si se multiplican los elementos de una fila o columna de la matriz \(A\) por un escalar \(k\), entonces el determinante queda multiplicado por \(k\).
-
Si una fila o columna de una matriz cuadrada \(A\) se le suma otra multiplicada por un escalar \(k\), entonces su determinante no varia.
-
Una matriz cuadrada es regular, si y solamente si \(\det(A) \ne 0\).
-
El producto \(\det(AB) = \det(A) \det(B)\)
-
Transpuesta: \(\det(A^T) = \det(A)\)
-
El determinante de una matriz puede obtenerse desarrollando cualquiera de sus filas o columnas (por ejemplo, la que tiene mayor numero de ceros.)
\(\det(A) = a_{i1}\alpha_{i1} + a_{i2}\alpha_{i2} + \cdots + a_{in}\alpha_{in} = a_{1j}\alpha_{1j} + a_{2j}\alpha_{2j} + \cdots + a{nj}\alpha{nj}\).
