Tema 9: Matrices III + Sistemas Lineales
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Una ecuacion lineal en las variables \(x_1, x_2, \cdots, x_n\) es una epresion de la forma:
\(a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + \cdots + a_{n}x_{n} = b\)
Se supone que \(a_i\) y \(b\) son coeficientes conocidos, y las \(x_i\), \(n\) incognitas.
Geometricamente, los puntos \(x_1, \cdots, \x_n\) que son solucion de la ecuacion lineal anterior, pertenecen todos a un plano (de hasta \(n - 1\) dimensiones.)
Por ejemplo: En la ecuacion.
\(2x_1 + x_2 = 2\)
Las soluciones son puntos que pertenecen a la recta:
\(x_2 = -2x_1 + 2\)
Un sistema de ecuaciones lineales, en un conjunto de ecuaciones lineales que se cumplen simultaneamente:
\(\begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = b_1 \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} = b_{m} \end{cases}\)
Si (\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)) cumple todas las ecuaciones del sistema, entonces decimos que es una solucion del sistema.
Diremos que dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Geometricamente, interpretamos las soluciones de un sistema como el conjunto de puntos que pertenecen a todos los hiperplanos definidos por las ecuaciones lineales del sistema.
Sistema Matricial Asociado
Consideremos el sistema:
\(\begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} = b_1 \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} = b_{m} \end{cases}\)
Podemos escribir, de forma equivalente:
\(\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \cdots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots &a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}\)
O de forma compacta: \(Ax = b\).
El sistema \(Ax = b\) tiene solucion, si y solo si \(b\) es una combinacion lineal de las columnas de \(A\).
Teorema Rouche-Frobenius
Estudiar esto.
