Tema 10: Espacios Vectoriales
Espacio Vectorial
Sea \(K\) un cuerpo (\(K = \mathbb{R}, \mathbb{C}\)). Un espacio vectorial sobre \(K\) es un conjunto \(V\) no vacio junto con las oepraciones de suma y multiplicacion por elementos de \(K\) (escalares). Con las siguientes propiedades:
\(+\):
- Asociativa: \(u + (v + w) = (u + v) + w, \forall u, v, w \in V\)
- Conmutativa: \(u + v = v + u, \forall u, v \in V\)
- Elemento neutro: \(\exists0 \in V\), tal que \(v + 0 = v \forall v \in V\)
- Elemento inverso: Para todo \(v \in V\) existe \(-v\), tal que \(v+(-v) = 0\)
\(\cdot\):
- \(k(u + v) = ku + kv, \forall k \in K, u, v \in V\)
- \((k_1 + k_2)u = k_{1}u, \forall k_1, k_2 \in K, u \in V\)
- \((k_1 k_2)u = k_1(k_2 u), \forall k_1, k_2 \in K, u \in V\)
- \(1u = u, \forall u \in V\)
A los elementos del espacio vectorial \(V\) se les llama vectores, y a los elementos del cuerpo \(K\) se les llama escalares. Denotamos por \(u - v\) a la suma \(u + (-v)\).
Subespacio Vectorial
Sea \(V\) un espacio vectorial sobre \(K\). Llamamos subespacio vectorial de \(V\) a un subconjunto \(U \subset V\) no vacio que verifique:
- Si \(u, v \in U\), entonces \(u + v \in U\)
- Si \(u \in U\) y \(k \in K\), entonces \(ku \in U\)
Un subespacio vectorial es un subconjunto cerrado para las operaciones de suma y producto por un escalar.
Necesariamente \(0 \in U\) para que \(U\) sea subespacio.
Todo espacio vectorial es subespacio de si mismo.
El conjunto formado por \({0}\) es siempre subespacio vectorial.
Combinaciones Lineales
Decimos que un vector u es una combinacion lineal de los vectores \(v_1, \cdots, v_n \in V\) si existen escalares \(a_1, \cdots, a_n \in K\) tales que:
\(u = a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n\)
Sistemas Generadores
Fijados \(v_1, \cdots, v_n\), llamamos subespacio generado por estos vectores al conjunto de todas las posibles combinaciones lineales:
\(\langle v_1, \cdots, v_n \rangle = \{ a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n | \alpha_i \in K \}\)
Decimos que \(v_1, \cdots, v_n \in V\) son un sistema de generadores.
\(\langle v_1, \cdots, v_n \rangle\) es el menos subespacio vectorial que contiene los vectores \(v_1, \cdots, v_n\).
Independencia Lineal
Sea \(V\) un \(K\) -espacio vectorial.
Decimos que un conjunto de vectores \(S = \{v_1, \cdots, v_n\}\) es linealmente independiente si la siguiente ecuacion:
\(a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n = 0\)
Diremos que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si no es linealmente independiente (XD).
Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solo si, uno de los vectores puede escribirse como cominacion lineal del resto.
Base de un Espacio Vectorial
Sea \(V\) un \(K\) -espacio vectorial. Decimos que los vectores \(v_1, \cdots, v_n\) forman una base de \(V\) si:
- Los vectores \(v_1, \cdots, v_n\) son linealmente independientes.
- \(V = \langle v_1, \cdots, v_n \rangle\)
- Si \(v_1\) se puede escribir como combinacion lineal de \(v_2, \cdots, v_n\), entonces \(\langle v_1, \cdots, v_2 \rangle = \langle v_2, \cdots, v_n \rangle\)
- Si \(v_1, \cdots, v_2\) son linealmente independientes y \(u \notin \langle v_1, v_2, \cdots, v_n \rangle\), entonces \(u, v_1, \cdots, v_n\) son linealmente independientes.
- Algun subconjunto de \(v_1, v_2, \cdots, v_n\) forma una base de \(\langle v_1, \cdots, v_n \rangle\)
