Tema 11: Espacios Vectoriales II
Espacios Vectoriales II
Sistemas de Coordenadas
Dado un espacio vectorial \(V\) de dimension \(n\), existen infinitas bases.
Una base es un sistema d coordenadas.
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Teorema de Representacion Unica: Si \(B = \{v_1, \cdots, v_n\}\) es una base de \(V\), entonces todo \(u \in V\) se puede expresar de manera unica como combinacion lineal de elementos de B.
Sean \(B = \{v_1, \cdots, v_n\}\) una bsae de \(V\) y \(v \in V\). Las coordenadas de \(v\) en la base \(B\) son los coeficientes \(x_1, \cdots, x_n\) tales que:
\(v = x_1 v_1 + \cdots + x_n v_n\)
Matriz de Cambio de Base
Consideramos un espacio vectorial de dimension \(n\). Supongamos que tenemos dos bases:
\(B = \{v_1, v_2, \cdots, v_n\}, B’ = \{w_1, w_2, \cdots, w_n\}\)
Sean \((a_{i,j}, \cdots, a_{i,n})\) las coordenadas del vector \(w_i\) en la base \(B\): Esto es:
\(w_1 = a_{1,1}v_{1} + \cdots + a_{1,n}v_{n}\) \(\vdots=\) \(w_n = a_{n,1}v_{1} + \cdots + a_{n,n}v_{n}\)
Llamamos matriz de cambio de base o coordenada de la base \(B’\) a la base \(B\) a la matriz:
\(P = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n,1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n,2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{n,n} \end{pmatrix}\)
En forma matricial: \(X = PX’\)
La ecuacion \(X = PX’\) nos permite cambiar las coordenadas de un vector en base \(B’\) a la base \(B\).
El cambio inverso viene dado por:
\(X’ = P^{-1} X\)
Interseccion y Suma de Subespacios
Dados dos subespacios \(U\) y \(W\) de un mismo espacio vectorial \(V\).
Podemos construir los dos siguientes subespacios:
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La interseccion \(U \cap W\) formada por los vectores \(v\), tales que \(v \in U\) y tambien \(v \in W\).
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La suma \(U + W\) definida como:
\(\{u + w | u \in U, w \in W\}\)
Decimos que \(V\) es suma directa de \(U\) y \(W\) (\(V = U \oplus W\)). Si:
- \(V = U + W\)
- \(U \cap W = \emptyset\)
Si \(V = U \oplus W\) entonces \(v = u + w\) con \(u \in U\) y \(w \in W\), de manera unica.
Aplicaciones Lineales
Sean \(E\) y \(F\) dos espacios vectoriales (sobre el mismo cuerpo). Una aplicacion:
\(f : E \mapsto F\)
es una aplicacion lineal si:
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Para todo \(u, v \in E\)
\(f(u + v) = f(u) + f(v)\)
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Para todo escalar \(k\) y \(v \in E\), se tiene:
\(f(kv) = kf(v)\)
Propiedades
Si \(f : E \mapsto F\) es una aplicacion lineal entre dos espacios vectoriales \(a, b \in K\) son escalares y \(x, y \in E\):
- \(f(ax + by) = af(x) + bf(y)\)
- \(f(0) = 0\)
- \(f(-x)= -f(x)\)
- Su composicion es lineal.
