Tema 12: Aplicaciones Lineales
Aplicaciones Lineales
Nucleo e imagen de una aplicacion lineal
Sea \(f: E \mapsto F\) una aplicacion lineal.
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Llamamos nucleo de \(f\) al subespacio vectorial de \(E\):
\(\text{Ker}(f) := \{u \in E | f(u) = 0\}\)
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Llamamos imagen de \(f\) al subespacio vectorial de \(F\).
\(\text{Im}(f) = \{v \in F | \exists x \in E, v = f(u)\}\)
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Una aplicacion lineal \(f: E \mapsto E\) se llama endomorfismo.
Tipos de aplicaciones
Sea \(f: E \mapsto F\) una aplicacion
- \(f\) es inyectiva si \(f(x) = f(y)\) implica que \(x = y\).
- \(f\) es sobreyectiva si para todo \(v \in F\), existe \(u \in E\) tal que \(f(u) = v\).
- \(f\) es biyectiva si es sobretectiva e inyectiva.
Si \(f\) es una aplicacion lineal:
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\(f\) es inyectiva \(\Leftrightarrow \text{Ker}(f) = 0\)
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\(f\) es suprayectiva \(\Leftrightarrow \text{Im}(f) = F\)
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Observacion: Si \(f\) es biyectiva:
\(\text{dim}(E) = \text{dim}(\text{Ker}(f)) + \text{dim}(\text{Im}(f))\)
Pero \(\text{dim}(\text{Ker}(f)) = 0\) luego: \(\text{dim}(E) = \text{dim}(\text{Im}(f))\)
Automorfismos
Si \(f: E \mapsto F\) es una aplicacion lineal:
Decimos que \(f\) es un isomorfismo si es biyectiva.
En caso de tener un isomorfismo \(f: E \mapsto F\), decimos que los espacios son isomorfos \((E \cong F)\) (ya hemos argumentado que dos espacios isomorfos han de tener la misma dimension).
La aplicacion inversa de una aplicacion lineal tambien es lineal.
Un enfomorfismo que es biyectivo se llama automorfismo.
Bases y Aplicaciones Lineales
Sean \(E\) y \(F\) dos espacios vectoriales y \(f : E \mapsto F\) una aplicacion lineal.
Sea \(B = \{v_1, \cdots, v_n\}\)
\(f\) esta completamente determinada por \(f(v_1), \cdots, f(v_n)\).
En efecto, sea \(u \in E\) un elemento cualquiera. Este se puede escribir como combinacion lineal de los elementos de \(B\).
\(u = \sum\limits^n_{i = 1} a_i v_i\)
Aplicando \(f\) a ambos lados y utilizando su linealidad:
\(f(u) = \sum\limits_{i = 1}^n a_i f(v_i)\)
Matriz de una Aplicacion Lineal
Sean \(E\) y \(F\) dos espacios vectoriales y \(f: E \mapsto F\) una aplicacion lineal.
Supongamos que \(B = \{v_1, \cdots, v_n\}\) es unabase de \(E\) y \(B’ = \{u_1, \cdots, u_m\}\) es una base de \(F\).
Pregunta: Dado \(v = \in E\), expresado en coordanadas sobre \(B\), cuales son las coordenadas de \(f(v)\) en base \(B’\)?
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Consideramos los vectores \(f(v_1), \cdots, f(v_n)\) (que determinan \(f\))
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Sean \(a_{i,j} i = 1, \cdots, m, j = 1, \cdots, n\) las coordenadas de \(f(v_j)\) en la base \(B\). Esto es:
\(f(v_1) = (a_{1,1}, \cdots, a_{m,1})_{B’}\) \(\cdots\) \(f(v_{n}) = (a_{1,n}, \cdots, a_{m,n})_{B’}\)
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Las coordenadas de \((y_1, \cdots, y_m)\) de \(f(v)\) en \(B’\) son:
\(\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\)
Matriz Asociada
La matriz anterior se llama matriz asociada a la aplicacion lineal.
Dada una aplicacion lineal, la ecuacion matricial de \(f\) con respecto a las bases \(B\) y \(B’\) es:
\(y = Ax\)
donde
- \(x\) son las coordenadas de un vector de \(E\) en la base \(B\).
- \(y\) son las coordenadas de \(f(x)\) en \(B’\)
- \(A\) es la matriz asociada a \(f\), la matriz cuyas columnas son las coordenadas de \(f(v_1), \cdots, f(v_n)\) en la base \(B’\)
Nucleo, imagen y matriz asociada
Sean \(E\) y \(F\) dos espacios vectoriales y \(f: E \mapsto F\) una aplicacion lineal. Sean \(B\) y \(B’\) sus bases respectivas y \(A\) la matriz asociada a \(f\) en esas bases.
\(\text{dim}(\text{Im}(f)) = \text{rank}(A)\)
Consideramos la matriz:
\(\begin{pmatrix} A \\ I_n \end{pmatrix}\)
Calculamos la forma normal de Hermite por columnas:
\(\begin{pmatrix} N \\ P \end{pmatrix}\)
\(\text{Im}(f)\) esta generado por las columnas no nulas de \(H\) y \(\text{Ker}(f)\) esta generado por las columnas de \(P\) situadas debajo de las columnas nulas de \(H\).
