Ejercicios Tema 1: Tablas de Verdad y Tautologias
Conceptos claves
- Tautologia: La proposicion es verdadera para todas las combinaciones de valores de verdad.
- Contradiccion: La proposicion es falsa para todas las combinaciones.
- Contingencia: La proposicion es verdadera en algunos casos y falsa en otros.
Ejercicio 1
Construye la tabla de verdad para cada una de las siguientes proposiciones compuestas y determina si es una tautologia, contradiccion o contingencia.
1
\((p \wedge q) \rightarrow p\)
| p | q | p ∧ q | (p ∧ q) → p |
|---|---|---|---|
| V | V | V | V |
| V | F | F | V |
| F | V | F | V |
| F | F | F | V |
Es una tautologia.
2
\(\neg (p \vee q) \leftrightarrow (\neg p \wedge \neg q)\) (leyes de morgan)
| p | q | (p ∨ q) | ¬(p ∨ q) | (¬ p ∧ ¬ q) | ¬(p ∨ q) ↔ (¬ p ∧ ¬ q) |
|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | F | F | V |
| V | F | V | F | F | V |
| F | V | V | F | F | V |
| F | F | F | V | V | V |
Es una tautologia.
3
\((p \rightarrow q) \leftrightarrow (\neg q \rightarrow \neg p)\) (contrarreciproco)
| p | q | p → q | ¬ q → ¬ p | (p → q) ↔ (¬ q → ¬ q) |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V |
| V | F | F | F | V |
| F | V | V | V | V |
| F | F | V | V | V |
Es una tautologia.
4
\((p \vee \neg p) \rightarrow (q \wedge \neg q)\)
| p | q | p ∨ ¬ p | q ∧ ¬ q | (p ∨ ¬ p) → (q ∧ ¬ q) |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | F | F |
| V | F | V | F | F |
| F | V | V | F | F |
| F | F | V | F | F |
Es una contradiccion.
5
\([(p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow r)] \rightarrow (p \rightarrow r)]\) (silogismo hipotetico)
| p | q | r | p → q (A) | q → r (B) | A ∧ B (C) | p → r (D) | C → D |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V | V | V | V |
| V | V | F | V | F | F | F | V |
| V | F | V | F | V | F | V | V |
| V | F | F | F | V | F | F | V |
| F | V | V | V | V | V | V | V |
| F | V | F | V | F | F | V | V |
| F | F | V | V | V | V | V | V |
| F | F | F | V | V | V | V | V |
Es una tautologia.
6
\((p \wedge q) \rightarrow (r \vee \neg r)\)
| p | q | r | p ∧ q | r ∨ ¬ r | (p ∧ q) → (r ∨ ¬ r) |
|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V | V |
| V | V | F | V | V | V |
| V | F | V | F | V | V |
| V | F | F | F | V | V |
| F | V | V | F | V | V |
| F | V | F | F | V | V |
| F | F | V | F | V | V |
| F | F | F | F | V | V |
Es una tautologia.
7
\([p \vee (q \wedge r)] \leftrightarrow [(p \vee q) \wedge (p \vee r)]\) (Distributividad)
| p | q | r | q ∧ r (A) | p ∨ A | p ∨ q (B) | p ∨ r (C) | B ∧ C (D) | (p ∨ A) ↔ D |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V | V | V | V | V |
| V | V | F | F | V | V | V | V | V |
| V | F | V | F | V | V | V | V | V |
| V | F | F | F | V | V | V | V | V |
| F | V | V | V | V | V | V | V | V |
| F | V | F | F | F | V | F | F | V |
| F | F | V | F | F | F | V | F | V |
| F | F | F | F | F | F | F | F | V |
Es una tautologia.
8
\(\neg(p \rightarrow q) \wedge (q \leftrightarrow r)\)
| p | q | r | p → q (A) | ¬(A) | q ↔ r (B) | ¬(A) ∧ B |
|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | F | V | F |
| V | V | F | V | F | F | F |
| V | F | V | F | V | F | F |
| V | F | F | F | V | V | V |
| F | V | V | V | F | V | F |
| F | V | F | V | F | F | F |
| F | F | V | V | F | F | F |
| F | F | F | V | F | V | F |
Es una contingencia.
Ejercicio 2
Para cada ejercicio:
- Identificar las proposiciones simples (p, q, r, ⋯)
- Formalizar las premisas y la conclusion en lenguaje simbolico.
- Construir la tabla de verdad del condicional.
- Determinar si el razonamiento es un argumento valido (tautologia.)
El dilema del estudiante
“Si estudio mucho, entonces aprovare el examen de Algebra. Si apruebo el examen de algebra, entonces me ire de vacaciones. Por lo tanto, si estudio mucho, me ire de vacaciones.”
Definicion de variables:
- \(p\): estudio mucho.
- \(q\): apruebo examen de algebra.
- \(r\): me voy de vacaciones.
Formalizacion:
- Premisa 1: \(p \rightarrow q\)
- Premisa 2: \(q \rightarrow r\)
- Premisa 3: \(p\)
- Conclusion: \(r\)
Estructura del Argumento: \([((p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow r)) \wedge p] \rightarrow r\)
| p | q | r | p → q (A) | q → r (B) | A ∧ B (C) | C ∧ p (D) | D → r |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V | V | V | V |
| V | V | F | V | F | F | F | V |
| V | F | V | F | V | F | F | V |
| V | F | F | F | V | F | F | V |
| F | V | V | V | V | V | F | V |
| F | V | F | V | F | F | F | V |
| F | F | V | V | V | V | F | V |
| F | F | F | V | V | V | F | V |
El razonamiento es logico.
El misterio del Servidor
“SI el servidor esta saturado o la base de datos esta caida, entonces la pagina web no carga. La pagina web carga correctamente. Por lo tanto, la base de datos no esta caida.”
Definicion de variables:
- \(p\): el servidor esta saturado.
- \(q\): la base de datos esta caida.
- \(r\): la pagina web carga.
Formalizacion:
- Premisa 1: \((p \vee q) \rightarrow \neg r\)
- Premisa 2: \(r\)
- Conclusion: \(\neg q\)
Estructura del Argumento:
\([((p \vee q) \rightarrow r) \wedge r] \rightarrow \neg q\)
Quiz
#4
La proposicion \((p \vee q) \rightarrow (p \wedge q)\) es:
| p | q | p ∨ q | p ∧ q | (p ∨ q) → (p ∧ q) |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V |
| V | F | V | F | F |
| F | V | V | F | V |
| F | F | F | F | V |
Contingencia.
