Ejercicio Tema 2: Demostracion por Induccion
Conceptos Clave
Para cada uno de los siguientes ejercicios, demuestre la veracidad de la igualdad para todo \(n \in \mathbb{N} (n \ge 1)\) siguiendo los pasos del metodo de induccion:
- Base de la induccion: Probar que la propiedad se cumple para \(n = 1\).
- Hipotesis de induccion: Suponer que la propiedad es cierta para un valor \(k\).
- Paso inductivo: Demostrar que, asumiendo la hipotesis, la propiedad se cumple para \(k + 1\).
Videos
Video 1
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Demostrar la formula usando inducciones:
\(1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n (n + 1)}{2}\)
Para \(n = 1\):
\(1 = \frac{1 (1 + 1)}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
Ahora \(n = k + 1\)
\(1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac{k (k + 1)}{2} + (k + 1)\)
Podemos tomar \((k + 1)\) como factor comun:
\((k + 1)[\frac{k}{2} + 1] = \frac{k + 2}{2} = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2}\)
Video 2
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Demostrar:
\(1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + \cdots + (2n - 1)^2 = \frac{n(2n - 1)(2n + 1)}{3}\)
Para \(n = 1\):
\(1^2 = \frac{1(1)(3)}{3} = \frac{3}{3} = 1\)
Ahora \(n = k + 1\):
\(1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2k + 1)^2 = \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3} + (2k+1)^2\)
Podemos tomar \((2k + 1)\) como factor comun:
\((2k+1)[\frac{k(2k-1)}{3} + (2k+1)] = \frac{k(2k-1) + 3(2k+1)}{3} = \frac{(2k^2 - k) + (6k + 4)}{3} = \(2k + 1)[\frac{2k^2 + 5k + 3}{3}]\)
