Ejercicios Tema 3: Funciones
Conceptos Rapidos
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Inyectiva: Si \(f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2\) cada elemento del codominio le corresponde maximo un elemento del dominio.
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Sobreyectiva: Si el recorrido de la funcion coincide con el codominio (\(\text{Im}(f) = \text{Codom}\)).
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Biyectiva: Si es inyectiva y sobreyectiva simultaneamente.
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Dominio: \(\text{dom}(f)\) valores de \(a \in A\) para los q ue la funcion esta definida: (\(f(x) = \sqrt{x}. \text{Dom}f(x) = \mathbb{R}^+\)).
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Codominio: Conjunto de valores \(b \in B\) potencialmente alcanzables (no necesariamente) para algun \(a \in A\). (\(f(x) = x^2, \text{Codom}f = \mathbb{R}^2\)).
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Imagen o Rango: \(\text{Im}(f)\) conjunto de valores de \(b\) que son alcanzados por uno o mas valores \(a \in A\).
Ejercicios
Justifica si es inyectiva, sobreyectiva, o biyectiva.
Funcion Lineal en \(\mathbb{R}\)
\(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = 3x - 5\)
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Inyectiva?: \(f(2) = 3(2) - 5 = 1\) \(f(3) = 3(3) - 5 = 4\)
\(f(2) \ne f(3)\)
La funcion es inyectiva, porque la unica manera en que tengamos un elemento del dominio igual para dos valores, es que sean el mismo valor.
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Sobreyectiva: La funcion es sobreyectiva, ya que con \(3x - 5\) podemos obtener cualquier valor, cambiando el de \(x\).
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Biyectiva: La funcion es biyectiva.
Funcion Cuadrativa en \(\mathbb{R}\)
\(g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x) = x^2 + 1\)
- Inyectiva: No es inyectiva, porque \(g(2) = g(-2)\), su dominio es \([0, \infty)\).
- Sobreyectiva: La funcion no es sobreyectiva, porque si tenemos que su dominio es \(\mathbb{R}\), no se estarian usando \(\mathbb{R}^{-}\).
- Biyectiva: Como no es ni inyectiva ni sobreyectiva, no es tampoco biyectiva.
Funcion Cuadratica con Dominio Registringido
\(h: [0, \infty) \rightarrow [1, \infty), h(x) = x^2 + 1\)
- Inyectiva: La funcion es inyectiva, porque tenemos que \(a \in[0, \infty)\) y tambien que \(b \in [1, \infty)\). Por lo tanto, no pueden haber valores negativos que generen la colision de resultados.
- Sobreyectiva: La funcion es sobreyectiva, porque para todos los los valores que definimos \(a \in [0, \infty)\) hay un valor \(b \in [1, \infty)\) que le corresponde.
- Biyectiva: La funcion es biyectiva.
Funcion Racional
\(k :\mathbb{R} \textbackslash {0} \rightarrow \mathbb{R} \textbackslash {0}, k(x) = \frac{1}{2}\)
- Inyectiva: La funcion es inyectiva, porque para todo valor \(a \in A\) existe un valor diferente \(a \in B\): \(k(1) = 1, k(-1) = -1\).
- Sobreyectiva: La funcion es sobreyectiva, para cualquier \(y \ne 0\), existe \(x = \frac{1}{y}\).
- Biyectiva: Es biyectiva.
Funcion de Valor Absoluto
\(m: \mathbb{R} \rightarrow [0, \infty), m(x) = |x|\)
- Inyectiva: La funcion no es inyectiva, porque \(-2 \in A\), pero \(m(-2) = m(2)\).
- Sobreyectiva: La funcion si es sobreyectiva, porque si tenemos q su codominio es \([0, \infty)\) para todo \(x\) su valor va a estar dentro de \([0, \infty)\).
- Biyectiva: La funcion no es biyectiva.
Funcion Cubica
\(p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, p(x) = x^3 - x\)
- Inyectiva: No. Sus raices son \(x = 0, x = 1, x = -1\). Todos tienen imagen \(0\).
- Sobreyectiva: La funcion es sobreyectiva, porque para todo \(a \in A\) vamos a obtener un \(b \in B\).
- Biyectiva: La funcion es sobreyectiva.
Funcion Definida a Trozos
\(q : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, q (x)= \begin{cases} x + 1 & \text{si } x \ge 0 \\ 2x + 1 & \text{si } x < 0 \end{cases}\)
- Inyectiva: La funcion es inyectiva.
- Sobreyectiva: La funcion es sobreyectiva.
- Biyectiva: La funcion es biyectiva.
